28 May Solucion a problemas no lineales, ¿Implícito o explícito?

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¿Como se calcula la solución implícita o explícita?

Si consideremos las fuerzas externas, P, y las fuerzas internas (nodales), I, que actúan sobre un cuerpo como se muestran en la siguiente imagen

Las cargas internas que actúan sobre un nodo son causadas por las tensiones en los elementos que contienen ese nodo.

Para que el cuerpo esté en equilibrio estático, la fuerza neta que actúa en cada nodo debe ser cero. Por lo tanto, la afirmación básica del equilibrio estático es que las fuerzas internas, I, y las fuerzas externas, P, deben equilibrarse entre sí:

P – I = 0

La solulción implícita utiliza el método de Newton-Raphson para obtener soluciones a problemas no lineales. En un análisis no lineal, la solución no suele poder calcularse mediante la resolución de un único sistema de ecuaciones, como se haría en un problema lineal. En su lugar, la solución se encuentra aplicando las cargas especificadas de forma gradual e incremental trabajando hacia la solución final. 

Por lo tanto, se parte la simulación en un número de incrementos de carga y encuentra la configuración de equilibrio aproximado al final de cada incremento de carga. A menudo ésto conlleva varias iteraciones para determinar una solución aceptable para un incremento de carga dado. La suma de todas las respuestas incrementales es la solución aproximada para el análisis no lineal. Por lo tanto, se combina procedimientos incrementales e iterativos para resolver problemas no lineales.

El método explícito, en cambio,  determina una solución a la ecuación de equilibrio dinámico sin iterar, avanzando explícitamente el estado cinemático desde el final del incremento anterior. La resolución de un problema explícito no requiere la formación de matrices de rigidez tangencial. Para ello, se resuelven las ecuaciones de equilibrio dinámico al principio del incremento, t; las aceleraciones calculadas en el tiempo t se utilizan para avanzar la solución de velocidad al tiempo y la solución de desplazamiento al tiempo . Tanto para los problemas lineales como para los no lineales, los métodos explícitos requieren un pequeño tamaño de incremento de tiempo que depende únicamente de la frecuencia natural más alta del modelo y es independiente del tipo y duración de la carga. Las simulaciones suelen requerir un gran número de incrementos; sin embargo, debido a que un conjunto global de ecuaciones no se resuelve en cada incremento, el costo por incremento de un método explícito es mucho menor que el de un método implícito. Los pequeños incrementos característicos de un método dinámico explícito hacen que sea muy adecuado para el análisis no lineal

Elección entre análisis implícito y análisis explícito

En muchos análisis está claro si se debe utilizar una solución implícita o explícita. Por ejemplo, la solución implícita es más eficiente para resolver problemas no lineales suaves; por otra parte, la solución explícita es la elección clara para un análisis donde hay grandes deformaciones y hay influencia de las fuerzas de inercia. 

Sin embargo, hay ciertos problemas estáticos o cuasi-estáticos que pueden ser simulados de manera correcta con cualquiera de los dos métodos. Típicamente, se trata de problemas que normalmente se resolverían con un método implícito pero que pueden tener dificultades para converger debido a las complejidades del contacto o de los materiales, lo que da lugar a un gran número de iteraciones. Tales análisis son costosos de resolver con un método implícito porque cada iteración requiere un gran conjunto de ecuaciones lineales para ser resuelta.

Mientras que el método implícito debe iterar para determinar la solución de un problema no lineal, el método explícito determina la solución sin iterar, avanzando explícitamente el estado cinemático desde el final del incremento anterior, como ya hemos comentado. Aunque un análisis determinado puede requerir un gran número de incrementos de tiempo utilizando el método explícito, el análisis puede ser más eficiente con la solución explícita si el mismo análisis con el método implícito requiere muchas iteraciones.

Otra ventaja de la solución explícita es que requiere mucho menos espacio en disco y memoria que la solución implícita para la misma simulación. Para los problemas en los que el costo computacional de los dos programas puede ser comparable, el sustancial ahorro de espacio en disco y memoria del método explíctio lo hace atractivo.

Conclusiones sobre la elección entre implícito y explícito

Hay análisis donde está claro el modelo de solución a utilizar. 

Problemas estáticos linales o no linealidades suaves, se puede resolver con la solución implícito.  Análisis dinámicos donde aparecen grandes deformaciones, influencia en los resultados de las fuerzas de inercia o no linealidades severas, se suele utilizar la solución explícita.

Pero análisis cuasiestáticos donde se producen muchas iteraciones para poder converger es donde se han de valorar las dos soluciones, tanto implícito como explícito.